设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=f(x+1)-f(x),若f(4)=-2则函数g(x)=ex+2f(2011)ex+1的最小值是(  ) A.1 B.3 C.ln3 D.ln2

问题描述:

设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=f(x+1)-f(x),若f(4)=-2则函数g(x)=ex+

2f(2011)
ex+1
的最小值是(  )
A. 1
B. 3
C. ln3
D. ln2

∵f(x+2)=f(x+1)-f(x),①
∴f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)②
将①+②得f(x+3)=-f(x)
∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x)
∴f(2011)=f(7+334×6)=f(7)=f(4+3)=-f(4)=2
g(x)=ex+

2×2
ex+1
=ex+1+
4
ex+1
−1

由基本不等式可得,g(x)≥2
(ex+1)
4
ex+1
−1=3

当且仅当ex+1=
4
ex+1
,即x=0时,上式取到等号.
g(x)=ex+
2f(2011)
ex+1
的最小值为:3
故选B.