设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=f(x+1)-f(x),若f(4)=-2则函数g(x)=ex+2f(2011)ex+1的最小值是( ) A.1 B.3 C.ln3 D.ln2
问题描述:
设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=f(x+1)-f(x),若f(4)=-2则函数g(x)=ex+
的最小值是( )2f(2011)
ex+1
A. 1
B. 3
C. ln3
D. ln2
答
∵f(x+2)=f(x+1)-f(x),①
∴f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)②
将①+②得f(x+3)=-f(x)
∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x)
∴f(2011)=f(7+334×6)=f(7)=f(4+3)=-f(4)=2
∴g(x)=ex+
=ex+1+2×2
ex+1
−1,4
ex+1
由基本不等式可得,g(x)≥2
−1=3,
(ex+1)
4
ex+1
当且仅当ex+1=
,即x=0时,上式取到等号.4
ex+1
故g(x)=ex+
的最小值为:32f(2011)
ex+1
故选B.