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已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是_．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 13:04:46
问题描述：

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是______．

答

△ABC中，由余弦定理可得 2cosC=

a2+b2−c2
ab
，∵a=1，2cosC+c=2b，
∴
1+b2−c2
b
+c=2b，化简可得 （b+c）2-1=3bc．
∵bc≤(
b+c
2
)2，∴（b+c）2-1≤3×(
b+c
2
)2，解得 b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
故a+b+c≤3．
再由任意两边之和大于第三边可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故答案为 （2，3]．

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