设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3,令β =α1+α2+α3(1)证明β,Aβ,A^2β线性无关(2)若A^3β=3Aβ-2A^2β,求A的特征值,并计算行列式∣A+E∣

问题描述:

设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3,
令β =α1+α2+α3
(1)证明β,Aβ,A^2β线性无关
(2)若A^3β=3Aβ-2A^2β,求A的特征值,并计算行列式∣A+E∣

(1)假设xβ+yAβ+zA^2β=0即x(α1+α2+α3)+y(λ1α1+λ2α2+λ3α3)+z(λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)=0(x+λ1y+λ1^2z)α1+(x+λ2y+λ2^2z)α2+(x+λ3y+λ3^2z)α3=0因为α1,α2,α3分属不同特征值,所以线性...