设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵.
问题描述：
设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵.
答
证: 首先 (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA
故 A^TA 是对称矩阵.
又对任一非零列向量x
由 r(A) = n 知 AX=0 只有零解
所以 Ax ≠ 0
再由A是实矩阵,
所以 (Ax)^T(Ax) > 0
即x^T(A^TA)x > 0
所以 A^TA 是正定矩阵.