证明对任意正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3

问题描述:

证明对任意正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3

f(x)=x^2+aln(1+x),取不妨取a=-1,构造函数g(x)=x^3-x^2+ln(1+x) 则g'(x)=[x^3+(x-1)^2]/(1+x),当x>0时g'(x)>0恒成立,于是g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以必有g(x)>g(0)=0 而1/n ∈(0,1],所以令x=1/n上式也成立,所以就...