A,n都是自然数,且A=n2+15n+26是一个完全平方数,则n等于 _.

问题描述:

A,n都是自然数,且A=n2+15n+26是一个完全平方数,则n等于 ______.

设A=(n+a)2,则A=n2+15n+26=(n+a)2=n2+2an+a2⇒15n+26=2an+a2⇒n=

26−a2
2a−15

∵n为自然数则26-a2>0且2a-15>0或26-a2<0且2a-15<0,
当26-a2>0且2a-15>0时,此时a无解;
当26-a2<0且2a-15<0时,此时6≤a≤7,
解得a=6,7,
代入n=
26−a2
2a−15
验证,
只有a=7时,n=23.
故答案为:23.