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类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 10:56:48
问题描述：

类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明．

答

线的关系类比到面的关系，猜测：S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2．
理由如下：
直角空间四面体ABCD中，如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．
S△BCD2 =

1
4
CD2•BE2 =
1
4
CD2（AB2+AE2）
=
1
4
（AC2+AD2）（AB2+AE2）
=
1
4
（AC2AB2 +AD2AB2 +AC2AE2+AD2AE2 ）
=
1
4
（AC2AB2 +AD2AB2+CD2AE2 ）
=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2

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