设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn＝n(a1+an)2，证明{an}是等差数列．
问题描述：
设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn＝
，证明{an}是等差数列． n(a1+an) 2
答
证明：法一：
令d=a2-a1．
下面用数学归纳法证明an=a1+（n-1）d（n∈N）．
（1）当n=1时上述等式为恒等式a1=a1．
当n=2时，a1+（2-1）d=a1+（a2-a1）=a2，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，ak=a1+（k-1）d．由题设，有
Sk=
，Sk+1=k(a1+ak) 2
，又Sk+1=Sk+ak+1(k+1)(a1+ak+1) 2
∴（k+1）
＝(a1+ak+1) 2
+ak+1k(a1+ak) 2
把ak=a1+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k-1）d+2ak+1．
整理得（k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d．
∵k≥2，∴ak+1=a1+kd．即当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列
法二：
当n≥2时，由题设，Sn−1＝
，Sn＝(n−1)(a1+an−1) 2
．n(a1+an) 2
所以an=Sn-Sn-1=
-n(a1+an) 2
(n−1)(a1+an−1) 2
同理有
an+1=
-(n+1)(a1+an−1) 2
．n(a1+an) 2
从而
an+1-an=
-n（a1+an）+(n+1)(a1+an−1) 2
，(n−1)(a1+an−1) 2
整理得an+1-an=an-an-1═a2-a1
从而{an}是等差数列．