长为6L质量为6m的匀质绳,置于特制的水平桌面上,绳的一端悬垂于桌边外,另一端系有一个可视为质点的质量为M的木块,如图所示.木块在AB段与桌面无摩擦,在BE段与桌面有摩擦,匀质绳

问题描述:

长为6L质量为6m的匀质绳,置于特制的水平桌面上,绳的一端悬垂于桌边外,另一端系有一个可视为质点的质量为M的木块,如图所示.木块在AB段与桌面无摩擦,在BE段与桌面有摩擦,匀质绳与桌面的摩擦可忽略.初始时刻用手按住木块使其停在A处,绳处于绷紧状态,AB=BC=CD=DE=L,放手后,木块最终停在C处.桌面距地面高度大于6L.

(1)求木块刚滑至B点时的速度v,木块与桌面的BE段的动摩擦因数μ;
(2)若木块在BE段与桌面的动摩擦因数变为μ′=

21m
4M
,则木块最终停在何处?
(3)是否存在一个μ值,能使木块从A处放手后,最终停在E处,且不再运动?若能,求出该μ值;若不能,简要说明理由.

(1)木块从A处释放后滑至B点的过程中,由机械能守恒得
 3mg×

3
2
L−2mgL=
1
2
(6m+M)v2   ①
则木块滑至B点时的速度  v=
5mgL
M+6m
              ②
木块从A处滑至C点的过程中,由功能关系得
     4mg×2L-2mgL=μMgL       ③
由③式得           μ=
6m
M
                         ④
(2)若μ
21m
4M
<μ

设木块能从B点向右滑动x最终停止,由功能关系得
(
3L+x
L
)mg
3L+x
2
−2mgL=μMgx
    ⑤
μ
21m
4M
代入⑤式并整理得 2x2-9Lx+10L2=0
解得x=2L (x=2.5L不合题意舍去)
即木块将从B点再滑动2L最终停在D处.
(3)不存在符合要求的μ值,即不可能使木块从A处放手后最终停在E处且不再运动.
这是由于当μ=
6m
M
时,若木块滑至E点,恰好有f=μMg=6mg,此时绳全部悬于桌边外,对木块的拉力恰好也为6mg,而从(2)的结果知,更使木块继续向E点滑行,必须再减小μ值,因而木块尚未滑至E点时,木块所受滑动摩擦力已与悬绳拉力相等,此时,再向E点滑行时,悬绳对木块拉力将大于木块受到的滑动摩擦力而使合力向右,木块又重新获得加速度.因此不可能保持静止状态.
答:(1)求木块刚滑至B点时的速度  v=
5mgL
M+6m
;木块与桌面的BE段的动摩擦因数 μ=
6m
M

(2)若木块在BE段与桌面的动摩擦因数变为μ′=
21m
4M
,则木块最终停在木块将从B点再滑动2L最终停在D处;
(3)不存在符合要求的μ值,即不可能使木块从A处放手后最终停在E处且不再运动.