已知函数f（x）=ax3+cx+d （a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2． （1）求函数f（x）的解析式． （2）求函数f（x）的单调区间和极大值． （3）证明：对任意x1，x2∈（-1，1），不
问题描述：
已知函数f（x）=ax3+cx+d （a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）的单调区间和极大值．
（3）证明：对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立．
答
（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d，
∴d=-d，即d=0 （或由f（0）=0得d=0），
∴f（x）=ax3+cx，
则f′（x）=3ax2+c，又当x=1时，f（x）取得极值-2，
∴
，即
f(1)＝−2 f′(1)＝0
，解得
a+c＝−2 3a+c＝0
．
a＝1 c＝−3
∴f（x）=x3-3x；
（2）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=±1．
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
∴函数f（x）的递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；
递减区间为（-1，1）．
因此，f（x）在x=-1处取得极大值，且极大值为f（-1）=2；
（3）证明：由（2）知，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
且f（x）在区间[-1，1]上的最大值为M=f（-1）=2．最小值为m=f（1）=-2．
∴对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜M-m=4成立．
即对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立．