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证明不等式：如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有：1+x)n＞1+nx．

分类: 作业答案 • 2021-12-01 17:00:25
问题描述：

证明不等式：如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有：

1+x
)n＞1+nx．

答

证明：①当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，
∵x≠0，∴1+2x+x2＞1+2x=右边，
∴n=2时不等式成立
②假设n=k（k≥2）时，不等式成立，
即（1+x）k＞1+kx，
当n=k+1时，因为x＞-1，所以1+x＞0，
左边=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，
而右边=1+（k+1）x，
所以左边＞右边
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．
根据①和②，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．
故

1+x
)n＞1+nx．

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