解关于x的不等式,log2 (x+1/x+6)

问题描述:

解关于x的不等式,log2 (x+1/x+6)

显然,x不为0,否则原不等式没意义.
一、当x>0时,由基本不等式,有:x+1/x≧2,∴x+1/x+6≧8=2^3.
  而原不等式变换成指数形式,就是:x+1/x+6≦2^3.
  x+1/x+6≧8=2^3与x+1/x+6≦2^3要同时满足,只能是取等号,即x+1/x≧2取等号,
  ∴x=1/x,得:x=1.
二、当x<0时,由基本不等式,有:(-x)+(-1/x)≧2,∴x+1/x≦-2,
  ∴x+1/x+6≦4<8=2^3.
  显然,这与原不等式变换成指数形式是一致的.但要使原不等式有意义,还需要:
  x+1/x+6>0,∴x^2+6x+1<0,∴x^2+6x+9-8<0,
  ∴(x+3)^2-8<0,∴(x+3+2√2)(x+3-2√2)<0,
  ∴-2√2-3<x<2√2-3.
综上一、二所述,原不等式的解是x=1和x∈(-2√2-3,2√2-3).