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如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°．E是BC上的一点，连结AE、DE，且△ADE≌△ECD．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）若△AED的面积是252，直角梯形ABCD的面积是492，求△ABE的周长．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 18:07:19
问题描述：

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°．E是BC上的一点，连结AE、DE，且△ADE≌△ECD．

（1）求证：△AED是等腰直角三角形；
（2）若△AED的面积是

25
2
，直角梯形ABCD的面积是
49
2
，求△ABE的周长．

答

（1）证明：∵△ABE≌△ECD，
∴AE=DE，
∴∠BAE=∠DEC，∠AEB=∠EDC，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）∵△AED是等腰直角三角形，
∴S△AED=

1
2
AE2，
∴
25
2
=
1
2
AE2，
∴AE=5，
∵△ABE≌△ECD，△AED的面积是
25
2
，直角梯形ABCD的面积是
49
2
，
∴2S△ABE=SABCD-S△AED，
∴S△ABE=
49
2
−
25
2
2
=6，
即
1
2
AB•BE=6，
则2AB•BE=24，
∵（AB+BE）2=AB2+2AB•BE+BE2=AB2+BE2+2AB•BE=AE2+24=25+24=49，
∴AB+BE=7，
∴△ABE的周长是=7+5=12．
答案解析：（1）等腰直角三角形的判定问题，先求出两边相等，再求一直角即可；
（2）有三角形△AED的面积，直角梯形ABCD的面积，求出△ABE，在直角三角形中，运用勾股定理求出各边长．
考试点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

知识点：考查了等腰三角形的性质及判定，能够运用勾股定理求解一些简单的面积问题．

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