线性代数题：证明：如果n阶实对称矩阵A满足A^5-2A^4+5A^...
问题描述：
线性代数题：证明：如果n阶实对称矩阵A满足A^5-2A^4+5A^...
答
:设a是A的特征值.
则 a^5-2a^4+5a^3-8a^2-9 是 A^5-2A^4+5A^3-8A^2-9E 的特征值.
而 A^5-2A^4+5A^3-8A^2-9E=0,零矩阵的特征值只能是0
所以 a^5-2a^4+5a^3-8a^2-9 = 0
易知,当a=0时,a^5-2a^4+5a^3-8a^2-9 0.
所以必有 a > 0.
所以A的特征值都大于0
所以A是正定矩阵.
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