刚做一道题:已知任意函数f(X),对任意x ,y 都有f(x+y)=f(x)+2y (x+y).f(1)=1,求f(x)解析式.答案是这样解的.令x=0 ,y=1.则有f(0)= -1.再令x=0,y=x则有f(x)=f(0)+2x(0+x)所以 f(X)=2x^2-1再看我的赋值.令x=1,y=-1,f(0)=f(1)+0.怎么现在f(0)=1了?请指出我有什么错误或者赋值的要求.
问题描述：
刚做一道题:
已知任意函数f(X),对任意x ,y 都有f(x+y)=f(x)+2y (x+y).f(1)=1,求f(x)解析式.
答案是这样解的.
令x=0 ,y=1.
则有f(0)= -1.
再令
x=0,y=x
则有f(x)=f(0)+2x(0+x)
所以 f(X)=2x^2-1
再看我的赋值.
令x=1,y=-1,
f(0)=f(1)+0.
怎么现在f(0)=1了?
请指出我有什么错误或者赋值的要求.
答
实际上是题目有问题
f(x+y)=f(x)+2y (x+y).令y=1-x 得 f(1)=f(x)+2y 即 f(x)=1-2y=1-2(1-x)=2x-1
代入原式 2(x+y)-1=2x-1+2y(x+y) 得2y(x+y-1)=0 也就是说这个式子只有当x+y=1或者y=0时才成立 而不是对任意x,y成立