已知∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，且PO=4，M、N分别是OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值是_．
问题描述：
已知∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，且PO=4，M、N分别是OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值是______．
答
作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
连接CO、PO、DO，
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD=OP=4．
∴△COD是等腰直角三角形．
则CD=
OC=
2
×4=4
2
．
2
故答案为：4
．
2