锐角△ABC，BC上有一点D，CA上有一点E，AB上有一点F，试证：存在唯一一组解，使△AEF∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CDE∽△CAB．
问题描述：
锐角△ABC，BC上有一点D，CA上有一点E，AB上有一点F，试证：存在唯一一组解，使△AEF∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CDE∽△CAB．
答
作△ABC的三条高AD0，BE0，CF0，结论显然成立．
假设有一D点异于D0满足条件，
则△BDF∽△BAC，
∴
∥. DF
，.
D0F0
∴∠BFD=∠BF0D0=∠ACB，
同理
∥. DE
，.
D0E0
于是，若D在D0左侧，则E，F也在左侧，⇒
与. EF
相交，故不平行；.
E0F0
∴∠AFE≠∠AF0E0=∠ACB，不符合要求．
若在右侧亦然，
所以假设不成立．
故D0，E0，F0为唯一一组满足条件的点．