如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,过点D作DE⊥AB,过点C作CF⊥BD,垂足分别为E、F,连接EF,求证: (1)F为BD的中点. (2)△DEF为等边三角形.
问题描述:
如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,过点D作DE⊥AB,过点C作CF⊥BD,垂足分别为E、F,连接EF,求证:
(1)F为BD的中点.
(2)△DEF为等边三角形.
答
(1)证明:∵DC∥AB,AD=BC,∠A=60°,
∴∠ABC=∠A=60°,
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=30°,
∵DC∥AB,
∴∠BDC=∠ABD=30°,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CB=CD,
∵CF⊥BD,
∴F为BD的中点;
(2)∵DE⊥AB,F为BD的中点,
∴DF=BF=EF,
∵∠ABD=30°,
∴∠BDE=90°-30°=60°,
∴△DEF为等边三角形.