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已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝−23，满足Sn+1Sn+2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:44:15
问题描述：

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝−

2
3
，满足Sn+
1
Sn
+2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．

答

由题设得Sn2+2Sn+1-anSn=0，当n≥2（n∈N*）时，an=Sn-Sn-1，
代入上式，得Sn-1Sn+2Sn+1=0．（*）
S1=a1=-

2
3
，
∵Sn+
1
Sn
=an-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S2+
1
S2
=a2-2=S2-a1-2，
∴
1
S2
=
2
3
-2，
∴S2=-
3
4
．
同理可求得 S3=-
4
5
，S4=-
5
6
．
猜想Sn =-
n+1
n+2
，n∈N+，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S1=a1=-
2
3
，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即SK=-
K+1
K+2
，则当n=k+1时，∵Sn+
1
Sn
=an-2，∴SK+1+
1
SK+1
＝ak+1−2，
∴SK+1+
1
SK+1
＝SK+1−SK−2，∴
1
SK+1
=
K+1
K+2
-2=
−K−3
K+2
，
∴SK+1=-
K+2
K+3
，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 Sn =-
n+1
n+2
，n∈N+成立．
答案解析：由题设可得 Sn-1Sn+2Sn+1=0，求得S1，S2，S3 的值，猜测Sn =-
n+1
n+2
，n∈N+；用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设SK=-
K+1
K+2
，则当n=k+1时，由条件可得，SK+1+
1
SK+1
＝SK+1−SK−2，解出 SK+1=-
K+2
K+3
，故n=k+1时，猜想仍然成立．
考试点：归纳推理．
知识点：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，Sn =-
n+1
n+2
，n∈N+，是解题的难点．

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