若P为三角形ABC所在平面上一点,且角APB=角BPC=角CPA=120度,则点P叫做三角形ABC的费尔马点.
问题描述：
若P为三角形ABC所在平面上一点,且角APB=角BPC=角CPA=120度,则点P叫做三角形ABC的费尔马点.
（1）若点P为锐角三角形ABC的费尔马点,且角ABC=60度,PA=3,PC=4,则PB的值为_____；
（2）如图,在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB',连接BB'.求证：BB'过三角形ABC的费尔马点P,且BB'=PA+PB+PC.
（好的加分）
答
(1)∵∠ABC=60度∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP^2=PA×PC=12
∴PB=2√3
(2)在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB',CB'
因为是锐角三角形,即可在BB'上选取一点P,使得∠APB=120度
则∠APB'=60度,又∠ACB'=60度
所以A,P,C,B'四点共圆
所以∠CPB'=∠CAB'=60度
综上,∠APC=∠BPC=120度,可知P为费马点
再证BB'=PA+PB+PC
延长PC并截取CE=AP,连接EB'
因为内接的关系,易知∠PAB'+∠PCB'=180度,∠PAB'=∠ECB'
易证△PAB'≌△ECB',又∵∠B'EP=∠B'PE=60度
∴PB'=EB'=PE=PC+CE=PC+PA
得证BB'=PA+PB+PC。。。我是初二的。。。yeah~