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定义在[-1，1]上的偶函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=14x-a2x（a∈R）．（I）写出f（x）在[0，1]上的解析式；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:40:14
问题描述：

定义在[-1，1]上的偶函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=

1
4x
-
a
2x
（a∈R）．
（I）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．

答

（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，
∴f（-x）=

1
4−x
−
a
2−x
=4x-a•2x，
∴f（x）=f（-x）=4x-a•2x，x∈[0，1]．
（Ⅱ）∵f（x）=4x-a•2x，x∈[0，1]．
令t=2x，t∈[1，2]，
∴g(t)＝t2−a•t＝(t−
a
2
)2−
a2
4
，
当
a
2
≤
3
2
，即a≤3，g(t)max＝g(2)＝4−.2a，
当
a
2
＞
3
2
，即a＞3时，g(t)max＝g(1)＝1−a，
综上：当a≤3时，f（x）最大值为4-2a；
当a＞3时，．f（x）最大值为1-a．
答案解析：（I）利用偶函数的性质即可得出；
（II）通过换元，分类讨论利用二次函数的单调性即可得出．
考试点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．
知识点：本题考查了偶函数的性质、指数函数的单调性、二次函数的单调性，考查了换元法、分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

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