在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足AO垂直BO.(1)求三角形AOB的重...在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足AO垂直BO.(1)求三角形AOB的重心的轨迹方程；(2)三角形AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.
问题描述：
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足AO垂直BO.(1)求三角形AOB的重...
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足AO垂直BO.(1)求三角形AOB的重心的轨迹方程；(2)三角形AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.
答
buzhidao
答
设A(x1,x1^2),B(x2,x2^2),O(0,0),x1不等于x2
AO垂直BO，根据勾股定理解得x1*x2=-1
所以重心的坐标
X=(x1+x2+0)/3
Y=(x1^2+x2^2+0)/3
(3X)^2+2=3Y
存在，小面积为1
答
设A(x1,x1^2),B(x2,x2^2),O(0,0),x1不等于x2
AO垂直BO,根据勾股定理解得x1*x2=-1
所以重心的坐标
X=(x1+x2+0)/3
Y=(x1^2+x2^2+0)/3
(3X)^2+2=3Y
存在,小面积为1
答
设:A(a,a²),B(b,b²)
OA斜率=a²/a=a
OB斜率=b
所以ab=-1,b=-1/a
B(-1/a,1/a²)
所以OAB重心x=(a-1/a+0)/3,y=(a²+1/a²+0)/3
所以a-1/a=3x,a²+1/a²=3y
(3x)²=a²-2+1/a²=3y-2
所以y=3x²+2/3