已知抛物线y=a(x-1)2+m的顶点为P,与x轴的两个交点分别为A、B,且△PAB为直角三角形.(1)设抛物线的对称轴与x轴交于E点,那么PE与AB有何数量关系?请说明其理由;(2)若将抛物线向上平移2单位时,抛物线的顶点恰好在x轴上,不解方程求关于x的一元二次方程a(x-1)2+m=0的根;(3)试写出a与m之间的函数关系式,并指明m的取值范围.

问题描述:

已知抛物线y=a(x-1)2+m的顶点为P,与x轴的两个交点分别为A、B,且△PAB为直角三角形.
(1)设抛物线的对称轴与x轴交于E点,那么PE与AB有何数量关系?请说明其理由;
(2)若将抛物线向上平移2单位时,抛物线的顶点恰好在x轴上,不解方程求关于x的一元二次方程a(x-1)2+m=0的根;
(3)试写出a与m之间的函数关系式,并指明m的取值范围.

(1)PE=

1
2
AB.
理由如下:∵抛物线y=a(x-1)2+m的顶点为P,与x轴的两个交点分别为A、B,且△PAB为直角三角形,
∴△PAB是等腰直角三角形,∠APB=90°,
∴PE是等腰直角三角形斜边上的中线,
∴PE=
1
2
AB;
(2)∵若将抛物线向上平移2单位时,抛物线的顶点恰好在x轴上,
∴PE=2,
∵PE=
1
2
AB,
∴AB=4,AE=BE=2,
∵抛物线对称轴为直线x=1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴关于x的一元二次方程a(x-1)2+m=0的根为x1=-1,x2=3.
(3)∵PE=|m|,
∴AB=2|m|,
∴点A(1-|m|,0),B(1+|m|,0),
将点A坐标代入抛物线得y=a(1-|m|-1)2+m=0,
解得m=0或am=-1,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴m≠0,
∴am=-1(m≠0).
答案解析:(1)根据二次函数的对称性可得AP=BP,从而判断出△PAB是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质解答即可;
(2)根据平移确定出PE=2,再根据等腰直角三角形的性质求出AE=BE=2,然后写出平移前点A、B的坐标,最后根据抛物线与x轴的交点问题解答;
(3)先用m表示出PE,再根据等腰直角三角形的性质表示出点A、B的坐标,然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算即可得解.
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题是二次函数综合题型,主要利用了等腰直角三角形的性质,抛物线与x轴的交点问题,二次函数图象上点的坐标特征,难点在于(3)表示出点A、B的坐标.