设f（x）单调增加，存在连续导数，f（0）=0，f（a）=b，g（x）与f（x）互为反函数． 证明：∫a0f（x）dx+∫b0g（x）dx=ab．
问题描述：
设f（x）单调增加，存在连续导数，f（0）=0，f（a）=b，g（x）与f（x）互为反函数．
证明：
f（x）dx+
∫
a0
g（x）dx=ab．
∫
b0
答
证明：设辅助函数F(x)＝
f(t)dt+
∫
x0
g(t)dt−xf(x)．
∫
f(x)0
因为F'（x）=f（x）+g[f（x）]f'（x）-f（x）-xf'（x）=0，
所以F（x）=C．
又 C=F（0）=0，
故 F（x）=0，F（a）=0．
又f（a）=b，
因此
f(x)dx+
∫
a0
g(x)dx＝ab．
∫
b0
所以得证．