E,F分别为边长a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱D1C1,BC的中点,求(1)异面EF与A1C1所成的角;(2)EF与平面A1B1C1D1的余弦值.
问题描述：
E,F分别为边长a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱D1C1,BC的中点,求(1)异面EF与A1C1所成的角;(2)EF与平面A1B1C1D1的余弦值.
答
(1) 过E点作A'C'的平行线交A'D'于M,即M为A'D'的中点
过M点作A'A的平行线交AD于N,即N为AD的中点
则MF=√(MN²+NF²)=a*√2
EF=√[(a/2)²+a²]=a*√5/2
EM=a/2
MF²=EF²+EM²-2*EF*EM*cos∠MEF
cos∠MEF=-(2a²-5a²/4-a²/4)/(a²*√5/4)
=-2√5/5
∠MEF=π-arccos(2√5/5)
(2)过F点作CC‘的平行线并交B'C'于G,FG⊥平面A1B1C1D1
cos∠FEG=EG/EF=(a/2)/(a*√5/2)=√5/5