求与圆(x-2)2+(y-1)2=9与直线y=0都相切,且半径为4的圆的方程

问题描述:

求与圆(x-2)2+(y-1)2=9与直线y=0都相切,且半径为4的圆的方程

由已知圆(x-2)^2+(y-1)^2=9,其圆心A为(2,1),半径=3,
设所求圆,圆心B为(a,b),由题意圆B与x轴相切且与圆A相切,圆B大于圆A,圆A与x轴相交,
所以圆B与圆A只能外切,其两圆心距离为rA+rB=3+4=7,
即:v[(a-2)^2+(b-1)^2]=7,
圆B与x轴相切,圆心B与x轴距离为rB=4,即丨b丨=4,
解方程组,得:圆心B为(2+2v10,4)、或(2-2v10,4)、
或(2+2v6,-4)、或(2-2v6,-4),
圆的标准方程为:(x-a)^2+(y-b)^2=16,
将坐标值a、b分别代入,可以得到4个符合要求的圆的方程。

因为半径为4,所以圆心和第一个圆的圆心的距离一定是3+4=7
所以这个圆的圆心方程为
(x-2)^2+(y-1)^2=49
当这个圆心方程上的点距y=0的距离也是4时,就为所求的圆心
将y=4代入得到x=2+2根10或2-2根10
所以圆的方程为
(x+2+2根10)^2+(y-4)^2=16
(x-2+2根10)^2+(y-4)^2=16

答:
圆(x-2)²+(y-1)²=9的圆心为P(2,1),半径R=3
直线y=0即是x轴.
设所求圆坐标为M(m,n),半径R1=4
圆M与x轴相切:|n|=4…………………………(1)
圆M与圆P相切:MP=R+R1=3+4=7
所以:MP²=49
所以:(m-2)²+(n-1)²=49…………………………(2)
由(1)和(2)解得:
n=4,m=2±2√10
n=-4,m=2±2√6
所以所求圆方程为:
(x-2-2√10)²+(y-4)²=16
或者:(x-2+2√10)²+(y-4)²=16
或者:(x-2-2√6)²+(y+4)²=16
或者:(x-2+2√6)²+(y+4)²=16