当x为何有理数时,代数式9x2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积?
问题描述:
当x为何有理数时,代数式9x2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积?
答
设两个偶数为2n,2n+2(n>0),则9x2+23x-2=2n(2n+2),
即9x2+23x-2-2n(2n+2)=0.
x为有理数,则方程的△为完全平方数,
△=232+4×9×[2+2n(2n+2))]=36(4n2+4n+1)+565=[6(2n+1)]2+565,
设△=m2(不妨设m≥0),
m2-[6(2n+1)]2=(m+12n+6)(m-12n-6)=565=565×1=113×5,
当m+12n+6=565时,m-12n-6=1解得m=283,n=23;
当m+12n+6=113时,有m-12n-6=5解得m=59,n=4;
当n=23时,9x2+23x-2=46×48,x=-17或x=
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当n=4时,9x2+23x-2=8×10,x=2或x=-
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答案解析:设两个偶数为2n,2n+2(n>0),则有9x2+23x-2=2n(2n+2),x为有理数,则方程的9x2+23x-2=2n(2n+2)的根的判别式△为完全平方数,设△=m2然后求得对应的m、n的值,再求得对应的x的值.
考试点:根的判别式;完全平方式.
知识点:本题通过设适当的参数,建立方程,利用方程的△为完全平方数讨论求解.