设函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,∞)上的函数,且f(x)满足关系式3f(x) 2f(1/x)=4x.求f(x).求写的清楚
问题描述：
设函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,∞)上的函数,且f(x)满足关系式3f(x) 2f(1/x)=4x.求f(x).
求写的清楚
答
设函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0, ∞)上的函数
由此句话可得知，f(x)是分式函数，分母中肯定有字母x，因为x≠0
对于关系式3f(x)+ 2f(1/x)=4x [1]
若令x=1/x，则关系式仍成立。可以相信代入求值。
即3f(1/x)+ 2f(x)=4/x [2]
则[1]×3得到9f(x)+ 6f(1/x)=12x [3]
和[2]×2得到4f(x)+ 6f(1/x)=8/x [4]
然后[3]-[4]得到5f(x)=12x -8/x
可化简得f(x)=(12x^2-8)/5x
答
3f(x)+2f(1/x)=4x.(1)
(1)式左右两边乘以2/3,得：
9/2f(x)+3f(1/x)=6x.(2)
将x=1/x代入(1)式,得：
3f(1/x)+2f(x)=4/x.(3)
将(2)式左右两边与(3)式左右两边相减,得：
5/2f(x)=6x-4/x.(4)
(4)式左右两边乘以2/5,得：
f(x)=12/5x-8/5x,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)