如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
问题描述：
如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
．
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（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
答
（1）证明：△ABD中∵AB=AD=2，O是BD中点，BD=2∴AO⊥BD 且 AO=AB2-BO2=1△BCD中，连结OC∵BC=DC=2∴CO⊥BD 且 CO=BC2-BO2=3△AOC中 AO=1，CO=3，AC=2∴AO 2+CO2=AC2 故 AO...
答案解析：（1）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知AO=1，CO=
，AC=2，故AO2+CO2=AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD．
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（2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，EM=
AB=1 2
，OE=
2
2
DC=1，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．1 2
考试点：直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．
知识点：本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．