设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn＝n(a1+an)2，证明{an}是等差数列．
问题描述：
设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn＝
，证明{an}是等差数列． n(a1+an) 2
答
证明：法一：令d=a2-a1．下面用数学归纳法证明an=a1+（n-1）d（n∈N）．（1）当n=1时上述等式为恒等式a1=a1．当n=2时，a1+（2-1）d=a1+（a2-a1）=a2，等式成立．（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，ak=a1+（k-1）d．...
答案解析：本小题考查等差数列的证明方法，数学归纳法及推理论证能力．
等差数列的证明是数列的常见题型，本题可用两种方法：
一是用数学归纳法，适用于理科，因为只要能证明{an}的通项公式满足等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d（n∈N），问题就可得证，这显然是与自然序号n有关的命题，故可以选择数学归纳法；
二是数列用定义证明，即证明an-an-1=m（常数），利用已知前n项和Sn＝
，首先利用an=sn-sn-1表示出an，然后可以计算an-an-1=m证明之，n(a1+an) 2
考试点：等差关系的确定．
知识点：等差数列的证明在高考中常见，是高考的重要题型，本题就是全国高考题．
等差数列的证明最常用的有两种方法：1．用定义证明，即证明an-an-1=m（常数），有时题目很简单，很快可求证，但有时则需要一定的变形技巧，这需要多做题，慢慢就会有感觉的，本题就有些复杂． 2．用等差数列的性质证明，即证明2an=an-1+an+1，此法不适用于本题，对于给出数列通项公式的证明，此法比较方便．
另外本题因为是与自然序号相关的命题，所以法一运用了数学归纳法，尽管繁琐，但思路清晰．