已知α1,α2,α3,α4是四维非零列向量,记A=(α1,α2,α3,α4),A*是A的伴随矩阵,若齐次方程组Ax=0的基础解系为(1,0,-2,0)T,则A*x=0的基础解系为( )A. α1,α2B. α1,α3C. α1,α2,α3D. α2,α3,α4
问题描述:
已知α1,α2,α3,α4是四维非零列向量,记A=(α1,α2,α3,α4),A*是A的伴随矩阵,若齐次方程组Ax=0的基础解系为(1,0,-2,0)T,则A*x=0的基础解系为( )
A. α1,α2
B. α1,α3
C. α1,α2,α3
D. α2,α3,α4
答
Ax=0的基础解系只含有一个向量,所以矩阵A的秩为3,
∴A存在不为0的3阶子式,即A*不为0
∴r(A*)≥1
又因为,此时
=0,由AA*=
A
E=0,知r(A)+r(A*)≤4
A
∴r(A*)≤1
∴r(A*)=1
∴A*x=0的基础解系含有三个向量
∴正确答案只可能是C或者D
∵(α1,α2,α3,α4)
=0
1 0 −2 0
即α1-2α3=0
∴α1与α3线性相关
而方程组的基本解系必须是线性无关的向量
∴正确答案为D.
答案解析:n阶矩阵A与它的伴随矩阵的行列式和秩都存在很多联系.
考试点:基础解系、通解及解空间的概念.
知识点:可以用排除法来帮助找到正确选项.