设f'(x)在[a,b]上连续,证明:lim(λ→+∞)∫(a,b)f(x)cos(λx)dx=0
问题描述：
设f'(x)在[a,b]上连续,证明:lim(λ→+∞)∫(a,b)f(x)cos(λx)dx=0
答
利用分部积分
∫(a,b)f(x)cos(λx)dx=1/λ * ∫(a,b)f(x)dsin(λx)
=1/λ * { [f(x)sin(λx)] |(a,b) - ∫(a,b)f'(x)sin(λx)dx}
因f'(x)在[a,b]上连续
0≤|∫(a,b)f'(x)sin(λx)dx|≤ ∫(a,b)|f'(x)|dx = A（与λ无关的常数 ）
同理 可以分析 [f(x)sin(λx)] |(a,b) 也是一个有界量
所以 lim(λ→+∞) ∫(a,b)f(x)cos(λx)dx=lim(λ→+∞)1/λ * { [f(x)sin(λx)] |(a,b) - ∫(a,b)f'(x)sin(λx)dx]}=0
理由是无穷小量乘以有界量