在锐角三角形中,求证sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC＞2π（2π是数值）
问题描述：
在锐角三角形中,求证sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC＞2π（2π是数值）
答
设f（x）=sinx；x∈(0,90°)；设g（x）=tanx；x∈（0,90°）
所以f(x)和g(x)在定义域上都为凸函数
根据琴生不等式可得：
sinA+sinB+sinC≥3sin[(A+B+C)/3]=(3√3)/2
tanA+tanB+tanC≥3tan[(A+B+C)/3]=3√3
两式相加得：
sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC≥(3√3)/2+3√3
=(9√3)/2＞2π
答
先证当A为锐角时有
sinA+tanA>=3(3A-π+√3)/2 （1）
令f(A)=sinA+tanA-3(3A-π+√3)/2,其中A属于(0,π/2)
则f'(A)=cosA+1/(cosA)^2-9/2=(2cosA-1)((cosA)^2-4cosA-2)/(2(cosA)^2)
易证(cosA)^2-4cosA-2