已知函数f(x)=loga1−mxx−1(a>0,a≠1)的图象关于原点对称.(1)求m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.

问题描述:

已知函数f(x)=loga

1−mx
x−1
(a>0,a≠1)的图象关于原点对称.
(1)求m的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.

(1)∵函数f(x)=loga

1−mx
x−1
(a>0,a≠1)的图象关于原点对称
∴函数为奇函数,满足f(-x)+f(x)=0,即loga
1+mx
−x−1
+loga
1−mx
x−1
=0对定义域内任意x都成立,
loga(
1+mx
−x−1
1−mx
x−1
)
=loga1,
1−m2x2
1−x2
=1对定义域内任意x都成立,
∴m2=1,得m=±1,经检验m=1不符合题意舍去,所以m的值为-1;
(2)当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数,证明如下
由(1)得f(x)=loga
1+x
x−1
,(x>1)
设t=
1+x 
x −1
,再令1<x1<x2,则t1=
1+x1
x1−1
,t2=
1+x2
x2−1

可得t1-t2=
1+x1
x1−1
-
1+x2
x2−1
=
2(x2x1)
(x1−1)(x2−1)
>0,有t1>t2
∴函数t=
1+x 
x−1
是(1,+∞)上的减函数.
根据复合函数单调性法则,得:当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;
当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数.
答案解析:(1)由题意得,f(x)是奇函数,得f(-x)+f(x)=0,代入解析式再用比较系数法,可得m=-1;
(2)令对数的真数为t,利用单调性的定义可以证出t(x)在区间(1,+∞)上是减函数,再用复合函数单调性可得原函数在区间(1,+∞)上的单调性.
考试点:奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质;函数的图象.
知识点:本题给出真数为分式对数型函数,并研究它的单调性与奇偶性,着重考查了基本初等函数的单调性和奇偶性等常见性质,属于基础题.