答
(1)∵函数f(x)=loga(a>0,a≠1)的图象关于原点对称
∴函数为奇函数,满足f(-x)+f(x)=0,即loga+loga=0对定义域内任意x都成立,
即loga(•)=loga1,=1对定义域内任意x都成立,
∴m2=1,得m=±1,经检验m=1不符合题意舍去,所以m的值为-1;
(2)当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数,证明如下
由(1)得f(x)=loga,(x>1)
设t=,再令1<x1<x2,则t1=,t2=,
可得t1-t2=-=>0,有t1>t2,
∴函数t=是(1,+∞)上的减函数.
根据复合函数单调性法则,得:当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;
当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数.
答案解析:(1)由题意得,f(x)是奇函数,得f(-x)+f(x)=0,代入解析式再用比较系数法,可得m=-1;
(2)令对数的真数为t,利用单调性的定义可以证出t(x)在区间(1,+∞)上是减函数,再用复合函数单调性可得原函数在区间(1,+∞)上的单调性.
考试点:奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质;函数的图象.
知识点:本题给出真数为分式对数型函数,并研究它的单调性与奇偶性,着重考查了基本初等函数的单调性和奇偶性等常见性质,属于基础题.