如图,二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为(0,2),矩形ABCD的顶点B、C在x轴上,A、D在抛物线上,矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内.(1)求二次函数的解析式;(2)设点A的坐标为(x,y),试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;(3)是否存在这样的矩形ABCD,使它的周长为9?试证明你的结论.(4)求出当x为何值时P有最大值?

问题描述:

如图,二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为(0,2),矩形ABCD的顶点B、C在x轴上,A、D在抛物线上,矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设点A的坐标为(x,y),试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;
(3)是否存在这样的矩形ABCD,使它的周长为9?试证明你的结论.
(4)求出当x为何值时P有最大值?

(1)∵二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为(0,2),
∴4m=2,
即m=

1
2
,所以次抛物线的解析式为:y=-
1
2
x2+2.
(2)∵A点在x轴的负方向上坐标为(x,y),四边形ABCD为矩形,BC在x轴上,
∴AD∥x轴,
又由抛物线关于y轴对称,
所以D、C点关于y轴分别与A、B对称.
所以AD的长为-2x,AB长为y,
所以周长p=2y-4x=2(-
1
2
x2+2)-4x=-(x+2)2+8.
∵A在x轴的负半轴上,
∴x<0,
∵四边形ABCD为矩形,
∴y>0,
即x>-2.
所以p=-(x+2)2+8,其中-2<x<0.
(3)不存在,
证明:假设存在这样的p,即:
9=-(x+2)2+8,
解此方程得:x无解,所以不存在这样的p.
(4)由p=-(x+2)2+8,且-2<x<0.
故p没有最大值.
答案解析:(1)由顶点坐标(0,2)可直接代入y=-mx2+4m,求得m=
1
2
,即可求得抛物线的解析式.
(2)由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴,长为2x的据对值,AB的长为A点的总坐标,由x与y的关系,可求得p关于自变量x的解析式,因为矩形ABCD在抛物线里面,所以x小于0,大于抛物线与x负半轴的交点.
(3)由(2)得到的p关于x的解析式,可令p=9,求x的方程,看x是否有解,有解则存在,无解则不存在,显然不存在这样的p.
(4)此题就是将p关于x的解析式看成抛物线的解析式,求其顶点即可.
考试点:二次函数综合题.

知识点:本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用,比较综合,只要熟练二次函数的性质,数形结合,此题算是中档题,考点还是比较基础的.