已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的图象为曲线C.(1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值,求此时a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[-2,6]恒成立,求c的取值范围.
问题描述:
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的图象为曲线C.
(1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;
(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值,求此时a,b的值;
(3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[-2,6]恒成立,求c的取值范围.
答
知识点:本题考查函数的极值与导数之间的关系,考查函数有极值的条件.要准确求解函数的导数,考查分离变量思想解决函数恒成立问题,考查学生的转化与化归思想.
(1)f'(x)=3x2-2ax+b,设切点为P(x0,y0),则曲线y=f(x)在点P的切线的斜率k=f'(x0)=3x02-2ax0+b由题意知f'(x0)=3x02-2ax0+b=0有解,∴△=4a2-12b≥0,即a2≥3b.(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3处取得...
答案解析:(1)切线与x轴平行等价于函数在该点处取到极值,即函数存在导数值为零的点.利用二次方程有根的条件进行求解;
(2)函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值,可以得出函数在x=-1和x=3处导数值为零,利用韦达定理确定出a,b的值;
(3)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题,通过求出函数的最值达到求解该题的目的.
考试点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.
知识点:本题考查函数的极值与导数之间的关系,考查函数有极值的条件.要准确求解函数的导数,考查分离变量思想解决函数恒成立问题,考查学生的转化与化归思想.