已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC=5．当k为何值时,AB²+AC²=BC²

K值为2。设AB 为M,AC为N,M和N是方程的两个根，M2+N2=(M+N)2-2MN,MN2可由-b/a的公式求得，MN可由a/c公式求得，将含K的代数式带入，可得K2+3K-10=0的式子，K值可求

AB²+AC²=BC²
△ABC是直角三角形，且斜边C＝5,b=3,c=4或b=4,c=3
b+c=7
b，c是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根
（2k+3）^2-4(k2+3k+2)>0
x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0
[x-(k+1)][x-(k+2)]=0
x=k+1,或x=k+2
k+1=3或k+2=4
k=-2,(舍去)或k=2
k=2
所以当
k=2时，AB²+AC²=BC²

直接解出一元二次方程的两个根，x=k+1或者x=k+2,
所以k+1和k+2就是AB和BC的长，(k+1)2+（k+2）2=25则可以解出k=2或者k=-5，由于是三角形，x肯定为正数,所以k=-5舍弃，则k=2
则三角形三边依次是3 4 5

AB+AC=2K+3 AB*AC=k2+3k+2
AB²+AC²=(AB+AC)²-2AB*AC=(2K+3)²-2(k2+3k+2)=2K²+6K+5=25
解出K=-5 K=2
但是必须保证该方程有两根，即：（2K+3)²-4(k2+3k+2)>0
解出恒成立。
且两根都为正因此舍掉-5
综上：K=2

根据一元二次方程根与系数关系,AB+AC=2k+3,AB*AC=k²+3k+2AB²+AC²=BC²=25(AB+AC)²-2AB*AC=25(2k+3)²-2(k²+3k+2)=25整理得,k²+3k-10=0解得k=-5或2当k=-5时,AB+AC=-7...