一道有关韦达定理的题不解方程,求做一个新方程,使它的两个实数根的积与两根的平方和分别是先下面方程的两个根:x^2-3x-10=0
问题描述:
一道有关韦达定理的题
不解方程,求做一个新方程,使它的两个实数根的积与两根的平方和分别是先下面方程的两个根:x^2-3x-10=0
答
此新方程无解哦。推理如下:
原方程可变为:(x-5)(x+3)=0,解为:x1=5,x2=-3。
设新方程的两个实数为:y1、y2.
则因为两个实数根的积与两根的平方和分别是-3和5,所以
y1*y2=-3,y1^2+y2^2=5
.则 (y1+y2)^2=y1^2+y2^2+2y1*y2=5-6=-1
我们都知道两个数的和的平方大于等于1,所以不可能存在两个实数根的积与两根的平方和分别是-3和5。
答
x²-3x-10=0
(x-5)(x+2)=0
x1=5,x2=-2
设所求的方程为x²+bx+c=0,它的两个根分别为:x1′、x2′.
x1′·x2′=-2=c,x1′²+x2′²=5
(x1′+x2′)²-2x1′x2′=5
(x1′+x2′)²=5+2x1′x2′=5+2×(-2)=1
∴ x1′+x2′=±1=b
∴x²±x-2=0 为所要求的方程.(其实,这个方程只有两个虚根)