设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为-12.求函数f(x)的解析式.

问题描述:

设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为-12.求函数f(x)的解析式.

∵f(x)为奇函数;
∴c=0;
∴f(x)=ax3+bx,f′(x)=3ax2+b;
∴b=-12,(3a-12)•

1
6
=-1;
∴a=2
∴f(x)=2x3-12x.
答案解析:根据函数f(x)为奇函数,得出c=0.这时,f′(x)=3ax2+b,由f′(x)最小值为-12,得出b=-12.而通过切线与直线x-6y-7=0垂直,求出切线斜率为-6,根据函数在切点处的导数与切线斜率的关系能求出a,从而求出f(x)解析式.
考试点:函数解析式的求解及常用方法.
知识点:考查奇函数的概念,二次函数的最值,以及函数在切点处的导数与切线斜率的关系,相互垂直的两直线斜率的关系.