已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立，且当x＞0时，有f（x）＞0，试判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并证明你的结论．
问题描述：
已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立，且当x＞0时，有f（x）＞0，试判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并证明你的结论．
答
∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），
∴令x1=x2=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令x1=-x，x2=x，则f（-x+x）=f（-x）+f（x）=f（0）=0，
可得f（-x）=-f（x），所以f（x）为R上的奇函数．
设R上任意的x1、x2满足x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0，∴f（x2-x1）＞0
由f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，
得f（x2）＞f（x1）
∴f（x）为R上的增函数．
答案解析：根据题意令x=y=0，解得f（0）=0．再令x1=-x，x2=x，证出f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．在R上任取x1＜x2，则x2-x1＞0，从而证出f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，得到f（x1）＜f（x2），从而证出f（x）为R上的增函数．
考试点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
知识点：本题给出抽象函数满足的条件，判断函数的奇偶性与单调性．着重考查了函数的简单性质及其证明方法等知识，属于中档题．