答
(1)方法一:∵g(x)=x+≥2e,等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有实根.
故m的取值范围是{m|m≥2e}.
方法二:作出g(x)=x+ (x>0)的图象如图:
观察图象,知:若使g(x)=m有实根,则只需m≥2e,故m的取值范围是{m|m≥2e}.
方法三:解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0,此方程有大于零的根,
故,等价于,故m≥2e.
故m的取值范围是{m|m≥2e}.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中,函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的图象,
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,
故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,∴m的取值范围是:(-e2+2e+1,+∞).
答案解析:(1)方法一:g(x)=x+≥2e,等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是[2e,+∞),由此能求出m的取值范围.
方法二:作出g(x)=x+ (x>0)的图象如图:观察图象,能求出m的取值范围.
方法三:解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根,故,由此能求出m的取值范围.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中,函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的图象,由f(x)=-x2+2ex+m-1,知最大值为m-1+e2,故当m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.
考试点:利用导数研究函数的单调性;二次函数的性质;根的存在性及根的个数判断.
知识点:本题考查实数取值范围的求法,解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.灵活运用导数的性质、函数图象进行求解.