数学题解答在RT三角形中,CD是斜边AB边上的高,求证：1/CD*CD=1/AC*AC+1/BC*BC
问题描述：
数学题解答在RT三角形中,CD是斜边AB边上的高,求证：1/CD*CD=1/AC*AC+1/BC*BC
答
证明：因为是RT三角形，所以AC*BC/2=CD*AB/2=三角形面积；
AC*AC*BC*BC=CD*CD*AB*AB=CD*CD*（BC*BC+AC*AC）=CD*CD*BC*BC+CD*CD*AC*AC；
可推得（BC*BC+AC*AC）/AC*AC*BC*BC=1/CD*CD；
从而可推得1/CD*CD=1/AC*AC+1/BC*BC
答
三角形ABC面积=AC*BC/2=AB*CD/2
AC*BC=AB*CD
AC^2*BC^2=AB^2*CD^2
1/CD^2=AB^2/(AC^2*BC^2)=(AC^2+BC^2)/(AC^2*BC^2)=(1/AC^2)+(1/BC^2)
答
证明：
在此三角形中,容易求证,
△ADC≌△CDB≌△ACB,
∴AC:AD=AB:AC,
BC:AB=BD:BC,
AD:DC=DC:DB,
即
AC²=AD*AB,
BC²=BD*AB,
DC²=AD*DB,
∴1/AC²+1/BC²
=AB*(AD+BD)/(AD*AB*BD*AB)
=1/(AD*BD)
=1/DC²,
得证!