设A=(3,0,1;0 3 -1;-2 0 3),AX=2X+A,求X 设A=(4,0,0;0,3,1;0,1,3),求正交矩阵P,使得P^-1AP为对角阵

1、
AX=2X+A
故(A-2E)X=A,
那么X=(A-2E)^(-1) A
用初等行变换来求(A-2E)^(-1)
而
(A-2E,E)=
1 0 1 1 0 0
0 1 -1 0 1 0
-2 0 1 0 0 1 第3行加上第1行乘以2
～
1 0 1 1 0 0
0 1 -1 0 1 0
0 0 3 2 0 1 第3行除以3,第1行减去第3行,第2行加上第3行
～
1 0 0 1/3 0 -1/3
0 1 0 2/3 1 1/3
0 0 1 2/3 0 1/3
所以(A-2E)^(-1)=
1/3 0 -1/3
2/3 1 1/3
2/3 0 1/3
那么
X=(A-2E)^(-1) A=
5/3 0 -2/3
4/3 3 2/3
4/3 0 5/3
2、
设此矩阵A的特征值为λ
则
|A-λE|=
4-λ 0 0
0 3-λ 1
0 1 3-λ
=(4-λ)(λ^2-6λ+8)=0
解得λ=2或4
当λ=2时,
A-2E=
2 0 0
0 1 1
0 1 1 第1行除以2,第3行减去第2行
～
1 0 0
0 1 1
0 0 0
得到特征向量为(0,1,-1)^T
当λ=4时,
A-4E=
0 0 0
0 -1 1
0 1 -1 第2行加上第3行
～
0 0 0
0 0 0
0 1 -1
得到特征向量为(0,1,1)^T和(1,0,0)^T
所以正交矩阵P为
0 0 1
1 1 0
-1 1 0