在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作直线EF,GH,分别交平行四边形的四条边于E,G,F,H四点,连结EG

1 平行四边形 因为在平行四边形abcd ao=oc （平行四边形对角线相等)又因为ad平行bc 所以∠aeo=∠cfo 所以证得△aeo全等于△cfo 所以oe=of 同理证△ago全等与△hoc 从而证og=oh
2 菱形 由平行四边形的对角线垂直得为菱形
3 菱形 与条件无关
4 正方形 先证四边形abcd为正方形 再证△gbo全等于△ofc 证得of=og 所以go=oh=eo=of对角线垂直且互相平分且相等 所以是正方形

（1）四边形EGFH是平行四边形，
证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴点O是▱ABCD的对称中心；
∴EO=FO，GO=HO；
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）菱形；
（3）菱形；
（4）四边形EGFH是正方形；
证明①：∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形；
∴▱ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF；
∴OG=OF，∴GH=EF；

证明②：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，EF=GH；
∴四边形EGFH是正方形．

AC=BD,AC垂直BD,ABCD为平行四边形,则ABCD为正方形.再看三角形AGO与CHO全等（两角一边）,因此O是EF与GH的中点,那EFGH就是四边都相等的菱形了.

（1）四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴点O是▱ABCD的对称中心；
∴EO=FO，GO=HO；
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）菱形；
（3）菱形；
（4）四边形EGFH是正方形；
证明：∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形；
∴▱ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF；
∴OG=OF，∴GH=EF；
由（3）知四边形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．