求直线(x+y-z-1=0 x-y+z+1=0)在平面x+y+z=0上的投影直线方程
问题描述:
求直线(x+y-z-1=0 x-y+z+1=0)在平面x+y+z=0上的投影直线方程
答
看到这题的思路:
1、直线的平面束为 x+y-z-1+λ(x-y+z+1)=0 即 (λ+1)x+(1-λ)y+(λ-1)z+(λ-1)=0
2、平面x+y+z=0的法向量 n1={1,1,1}
3、由平面束中的某一平面Π与平面x+y+z=0垂直得: (λ+1)·1+ (1-λ)·1+ (λ-1)·1=0 得 λ=-1
4、代入平面束得此平面为 2y-2z-2=0 即 y-z-1=0
5、直线(x+y-z-1=0 x-y+z+1=0)在平面x+y+z=0上的投影直线 即为此平面Π与平面x+y+z=0的交线:
{ (1)y-z-1=0 (2)x+y+z=0
------(转变一下与满意答案一样结果,这里主要提供思路和大家分享)
答
在直线上取两点(0,0,-1)和(0,1,0),可得直线的方向向量 v1=(0,1,1),而平面 x+y+z=0 的法向量为 n1=(1,1,1),所以,由 v1、n1 确定的平面的法向量为 n2=v1×n1=(0,1,-1),那么,所求直线的方向向量为 n1×n2=(-...