已知等式115＝1A+1B，其中A，B是非零自然数，求A+B的最大值．
问题描述：
已知等式
＝1 15
+1 A
，其中A，B是非零自然数，求A+B的最大值． 1 B
答
知识点：此题也可这样解答：设A=ka，B=kb，（a，b）=1，即有
=
+
=
，
因为（a，b）=1，所以有（a+b，b）=1和（a，a+b）=1，只能有a+b整除k．设k=m×（a+b），
则有A=m×（a+b）×a，B=m×（a+b）×b，A+B=m×（a+b）2，
因为
=
+
=
，
上式意味着m，a，b必须是15的约数．考虑到交换a和b的取值，不改变A+B的值．所以m，a，b可能的取值和A+B的值是：
答：A+B的最大值是256．
答案解析：求A+B的最大值，就是使A和B要尽量大，因此
越接近1 A
，则1 15
越小，则B越大，A+B就越大，不妨设1 B
=1 A
，看看1 16
能否拆成1 15
+1 16
的形式，通过拆分，由1 B
=1 15
+1 16
，因此A=16，B=240，因此A+B=16+240=256．故A+B的最大值是256．1 240
考试点：最大与最小．
知识点：此题也可这样解答：设A=ka，B=kb，（a，b）=1，即有
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| ka |
| 1 |
| kb |
| a+b |
| k×a×b |
因为（a，b）=1，所以有（a+b，b）=1和（a，a+b）=1，只能有a+b整除k．设k=m×（a+b），
则有A=m×（a+b）×a，B=m×（a+b）×b，A+B=m×（a+b）2，
因为
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| m×(a+b)×a |
| 1 |
| m×(a+b)×b |
| 1 |
| m×a×b |
上式意味着m，a，b必须是15的约数．考虑到交换a和b的取值，不改变A+B的值．所以m，a，b可能的取值和A+B的值是：
| m | 1 | 1 | 3 | 5 | 15 |
| a | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| b | 5 | 15 | 5 | 3 | 1 |
| A+B | 64 | 256 | 108 | 80 | 60 |