二次函数f(X)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)*f(1)>0求证方程f(X)=o有实根
问题描述：
二次函数f(X)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)*f(1)>0求证方程f(X)=o有实根
答
化解得：f(0)f(1)=c(a-c)>0,
判别式=（a-0.5c)^2+0.75c^2>=0,当且仅当a-0.5c=0且0.75c^2=0时等号成立，此时c(a-c)=0与f(0)f(1)=c(a-c)>0矛盾
所以等号不成立，判别式只能>0
得证
答
与一元二次方程根有关的问题,一般转化为一元二次函数的图象与交点的问题,用判别式来讨论根的个数
证明:a+b+c=0
b=-(a+c)
当f(0)=c>0时
f(1)=3a+2b+c>0
2a+b>0
2a+b+c>0
a>0
同理cac>0
Δ=(2b)^2-4*3ac=4(a+b)^2-12ac=4a^x-4ac+4c^2=4(a-c)^2+4ac>0
故方程f(x)=0有实根
答
a+b+c=0,所以b=-a-c,所以f(0)*f(1)=c(2b+3a+c)=c(-2a-2c+3a+c)=c(a-c)>0,所以cc-cc,f(X)=o的判别式=4bb-12ac=4[(a+c)(a+c)-3ac]>4[(a+c)(a+c)+3cc]>=0(当且仅当a+c=0,c+0,同时成立,才取等号,此时,a=c=b=0,不符合题意...