数列求和：1*2+2*3+...+n(n+1)=?RT
问题描述：
数列求和：1*2+2*3+...+n(n+1)=?
RT
答
设数列{An},An=n(n+1)(n+1)
则Sn=n(n+1)/12〕(an*n+bn+c)
S(n-1)=(n-1)(n-1+1)/12〕(a(n-1)*(n-1)+b(n-1)+c)
而Sn-S(n-1)=An
所以有n(n+1)/12〕(an*n+bn+c)-(n-1)(n-1+1)/12〕(a(n-1)*(n-1)+b(n-1)+c)=n(n+1)(n+1)
两边同时乘12/n
得(n+1)(an*n+bn+c)-(n-1)(a(n-1)(n-1)+b(n-1)+c)=12(n+1)(n+1)
化简，有4an*n+3(b-a)n+a-b+2c=12n*n+24n+12
要使对一切n属于N*成立，
则有 4a=12
3(b-a)=24
a-b+2c=12
即 a=3
b=11
c=10
所以
1*2+2*3+...+n(n+1)=n(n+1)/12〕(3n*n+11n+10)
答
n(n+1)(n+2)/3
1*2+2*3=3*(1*2)/3+3*(2*3)/3
=(2*3)*1+(2*3)*3/3
=(2*3)(1+3)/3=2*3*4/3
1*2+2*3+3*4=2*3*4/3+3*(3*4)/3
=3*4*(2+3)/3=3*4*5/3
以此类可得