已知椭圆x^2/4+y^2/3=1,过椭圆的右焦点的直线l交椭圆于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹方程.若椭圆上存在两点P,Q管与直线y=4x+m对称,求m取值范围.
问题描述：
已知椭圆x^2/4+y^2/3=1,过椭圆的右焦点的直线l交椭圆于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹方程.
若椭圆上存在两点P,Q管与直线y=4x+m对称,求m取值范围.
答
1、本题最好的方法是用参数方程来解决.
已知椭圆的右焦点为(1,0),可以设直线AB的斜率为k,线段AB的中点是Q(x,y).则AB：y=k(x－1),与椭圆联立方程组,消去y得到：(3＋4k²)x²－8k²x＋(4k²－12)=0,得到Q点的横坐标为x=(x1＋x2)/2=4k²/(3＋4k²),再代入直线方程中,得到y=(－3k)/(3＋4k²),两式消去k,得到：k=(3x)/(4y),再代入x=4k²/(3＋4k²)中,得到轨迹方程.需要注意的是这里的k是有范围的,原因就是直线需要和椭圆有交点,即方程(3＋4k²)x²－8k²x＋(4k²－12)=0中的判别式要大于0的.
2、可以设直线PQ的方程是y=－(1/4)x＋t,则此直线与椭圆联立方程组,消去y,得到关于x的一元二次方程.①此方程必须判别式大于0,而判别式中是含有t的,②由此方程又可以得到PQ的中点坐标(也含有字母t的),此中点在直线y=4x＋m上,这样就得到t和m的关系式,用m来表示t,即得到t=g(m),代入刚才得到的t的不等式中,那这个不等式就全是含有字母m的了,解出m的范围即可.