△ABC和△A1B1C1是空间两个三角形,若AB∩A1B1=P,AC∩A1C1=Q,BC∩B1C1=R,求证:P、Q、R三点共线

问题描述:

△ABC和△A1B1C1是空间两个三角形,若AB∩A1B1=P,AC∩A1C1=Q,BC∩B1C1=R,求证:P、Q、R三点共线

楼上基本说的差不多
由公理知,不共线三点确定唯一平面,所以有两个面:ABC,A1B1C1
由公理知,若两个平面有一个公共点,则它们有且只有一条过该点的公共直线
AB∩A1B1=P,AC∩A1C1=Q,所以这条公共直线就是PQ,又因为R也是平面的交点,所以R∈直线PQ上
所以三点共线。

两个三角形可以看成两个平面
由题目可知,这两个平面至少有3个不同的交点
故两个平面为相交的关系
两个平面相交,交点全部落在交线上
所以这三点共线